statistik

MATA KULIAH STATISTIK

REGRESI DAN KORELASI

A.      REGRESI LINEAR

             Persamaan regresi adl persamaan matematik yg dapat digunakan untuk meramalkan nilai-nilai suatu variabel tak bebas dari nilai-nilai satu / lebih variabel bebas.

             Variabel tak bebas adl fungsi persamaan variabel bebas dilambangkan dg Y, sedangkan variabel bebas dilambangkan dg X, atau X1 dan X2 jika variabel bebasnya ada dua, dst.

             Hubungan variabel bebas dan variabel tak bebas dalam bentuk persamaan bisa menga,bil beberapa bentuk :

1.       hubungan linear

     yaitu hubungan kedua varibel yg digambarkan dalam bentuk garis lurus.

Persamaan matematik : y = a + bx

Keterangan : a = konstanta intersep atau perpotongan dengan sumbu tegak

                           b = kemiringan atau gradien

                           y = digunakan untuk membedakan nilai ramalan yg diperoleh dari persamaa regresinya dg nilai pengamatan y yg sesungguhnya untuk nilai x tertentu

REGRESI

                Regresi adalah suatu persamaan regresi dimana variabel bebasnya lebih dari 1 Variabel  (dalam hal ini x1 dan x2)

Contoh :   y  =  pengeluaran pembelian barang x1 =  Pendapatan dan  x2  =  jumlah anggota rumah tangga

Bentuk persamaannya Y = b0 + b1X1 + b2X2 + ……. Bo = nilai y apabila x1 = x2 = 0 b1 = besarnya kenaikan (penurunan) y dalam satuan, apabila x1 naik (turun) satu satuan, sedangkan x2 konstan                                                                 b2  =  besarnya kenaikan (penurunan) y  dalam satuan, apabila x2 naik (turun) satu satuan, sedangkan x1 konstan

                Apabila didapat persamaan regresi linier berganda Y  = 3,92 + 2,50x1 - 0,48x2 artinya :  jika x1 naik Rp. 1000 sementara x2 konstan, maka y naik Rp. 250. Demikian juga jika x2 bertambah 1 orang, sedangkan x1 konstan, maka y turun (makin besar jumlah anggota keluarganya makin berkurang pengeluaran untuk membeli barang)

Catatan :  nilai b1 dan b2 dinamakan

Koefisien Regresi Parsial

                Adalah suatu korelasi antara variabel tidak bebas Y dengan variabel bebas yang lebih dari 1 variabel

Rumus KKLB

                Koefisien Penentu (KP )  Apabila KKLB dikuadratkan Yaitu besarnya sumbangan dari variabel bebas terhadap variasi variabel tidak bebas atau suatu nilai untuk mengukur besarnya sumbangan (share) dari beberapa variabel x terhadap variasi (naik-turunnya) y

Rumus KP      

LATIHAN SOAL

Dalam suatu penelitian terhadap 10 rumah tangga (acak) data sbb :

Y = data pengeluaran untuk pembelian barang-barang (dlm ratusan rupiah)  23        7         15        17        23         22        10         14         20         19

X1 = Pendapatan rumah tangga per bulan (dlm  ribuan rupiah)  10        2          4           6         8            7          4           6             7           6

                Seandainya rumah tangga tersebut  mempunyai  x1 dan  x2 masing-masing 11 dan 8, berapa besarnya nilai  y,   artinya berapa ratus rupiah  rumah tangga tersebut akan mengeluarkan  uangnya untuk  membeli  barang-barang,  dan berapa KKLB dan KP-nya ?

JAWABAN

Y²   = 529               49           225         289         529         484         100         196         400         361         Σ Y²= 3162        

X.Y=230                14           60           102         184         154         40           84           140         114         ΣX.Y = 1122

X²  =100                4              16           36           64           49           16           36           49           36           Σ X²= 406

Σ Y = 170                            Σ X1 = 60

Ha : b (+) = >0 ;  b (-) = <0

TEORI : hipotesis diambil berdasarkan pengaruh X terhadap Y

                Jika X mengalami kenaikan dan nilai b positif maka Ha yang dipake > 0

                Jika X tidak mengalami kenaikan dan nilai b negatif maka Ha yang dipake < 0

Ho = 0

         Pendapatan rumah tangga mempengaruhi pengeluaran untuk pembelian barang – barang

Ha > 0

         Setiap kenaikan pendapatan rumah tangga berpengaruh positif pada pengeluaran pembelian barang – barang

b       = n Σ xy - Σ X .Σ Y                                                                         

n(Σ X²) – (Σ X)²            

= 10 . 1122 – 60.170                                                                 

      10(406) – (60)²

= 1020

   4060

= 2,22

a  = Σ Y – b. Σ Y

                n

         = 170 – 2,22 . 170

                10

         = - 20,74

R =          n Σ XY – Σ X Σ Y

         \/n ΣX² – (Σ X)²   \/n Σ Y² – (Σ Y)²

         =                    10 x 1122 – 60 x 170

         \/10 x 406 – (60)²    \/10 x 3162 – (170)²

= 0,91

Y = a + bX

   = - 20,74 + 2,22X

Membaca Regresi

R = 0,91

X dapat menjelaskan Y sebesar 0,91 sedangkan 1 – 0,91 = 0,009 dijelaskan oleh variabel lain

Membaca Output

Y = -20,74 + 2,22X

Jika X = 10            Y = - 20,74 + 2,22 . 10 = 1,46

Berarti ketika pendapatan rumah tangga per bulan sebesar Rp 10.000, maka yang akan dibelanjakan sebesar Rp 146

KKP

                Adalah Koefisien korelasi antara 2 variabel dengan menganggap variabel lainnya tetap

•            Rumus  Koefisien Korelasi Parsial X1 dan Y,  apabila X2  konstan

•           Rumus  Koefisien Korelasi Parsial X2 dan Y,  apabila X1  konstan

•            Rumus  Koefisien Korelasi Parsial X1 dan X2,  apabila Y  konstan

Contoh Soal :

Dengan memakai Contoh Soal 8.1, Hitunglah Koefisien Korelasi Parsial antara X1 dan Y, X2  dan Y serta X1 dan X2,  didapat

            r_1y = 0,91                 r_2y = 0,74                  r₁₂  =  0,85

•            Koefisien Korelasi Parsial X1 dan Y,  apabila X2  konstan

      r_1y.2   =   0,80

•            Koefisien Korelasi Parsial X2 dan Y,  apabila X1  konstan

             r_2y.1   =   -0,15

•            Koefisien Korelasi Parsial X1 dan X2,  apabila Y  konstan

      r_12.y   =   0,63

                                                          Uji hipotesa

Ho : menurut pernyataan di lapangan / facta

Ha : menurut pendapat peneliti berdasar teori data historis yg dipunya peneliti

SOAL-SOAL LATIHAN UJI HIPOTESIS

1.       Sebelum tahun 1993, pendaftaran mahasiswa UNP dilakukan dg mengisi aplikasi secara manual & rata-rata waktu pengisian adl 50 menit. Pada tahun 1003, UNP memperkenalkan sistem on-line. Jika panitia PMB menyatakan bahwa sistem online lebih cepat dari sistem yg terdahulu maka hipotesanya.

2.       Di suatu perusahaan tekstil, mesin lama menghasilkan produksi dg rata-rata 12 unit/jam. Manajemen diberi masukan untuk mengganti dg mesin baru meskipun biaya mahala. Mesin baru tsb menguntungkan jika produksi rata-ratanya lebih besar dari 15 unit/jam. Untuk memutuskan apakaha menggunakan mesin baru atau tidak, maka diadakan uji coba dg 9 mesin baru. Dari uji coba tsb produksi rata-rata 16,5 unit/jam dg standart deviasi 2,8 unit. Bagaimana hipotesanya dan kebijakan apa yg akan diambil perusahaa.

3.       seorang peternak ayam ingin mengetahui makanan yg paling baik untuk mengahsilkan telur yg lebih banyak. Penelitian dilakukan terhadap 36 ekor ayam betina dewasa yg diambil secara acak, yaitu dg memberikan makanan yg dianggap lebih baik. Rata-rata telur yg diperoleh dari seekor ayam tersebut per tahun adl 215 butir dg simpangan baku 25 butir. Ujilah pernyataan bahwa makanan baru tsb memberikan hasil yg lebih baik dibandingkan dg makanan yg lama pada taraf nyata uji 0,05 jika dg makanan lama rata-rata telur per tahun per ekor ayam adl 200 butir. Asumsikan populasi menyebar normal.

4.       Seorang ahli pertanian menyelidiki efektifnya pemakaian sejenis pupuk, untuk itu kepada 100 petani dibagikan pupuk tsb untuk digunakan di sawah mereka. Setelah panen diketahui rata-rata hasil per ha adl 50 ton dg simpangan baku 5 ton. Kesimpulan apakah yg dapat diambil oleh ahli pertanian itu, jika 64 petani yg menggunakan pupuk jenis lain memperoleh hasil rata-rata per ha adl 40 ton dg simpangan baku 7 yon. Taraf nyata uji 0,005.

5.       Tinggi rata-rata mahasiswa STMIK Gunadarma angkatan tahun 1991 adl 162,5 cm dg simpangan baku 6,9 cm. Apakah ada alasan untuk mepercayai bahwa telah terjadi perubahan dlm tinggi rata-rata, bila dari 20 mahasiswa angkatan tahun 1992 yg diambil secara acak, mempunyai tinggi rata-rata 165,2 cm. Taraf nyata uji 0,02.

6.       Dengan menggunakan soal no.3, maka ujilah pernyataan yg mengatakan bahwa ragam tinggi mahasiswa angkatan th 1992 lebih kecil dari tinggi rata-rata 165,2 cm mempunyai simpangnab baku 7,5 cm. Taraf nyata uji 0,01.

7.       Suatu penelitian ingin mengetahui apakah penignkatan konsentrat substrat akan memberikan pengaruh yg berarti pada kecepatan suatau rekasi kimia. Dg konsentrasi substrat sebesar 1,5 mol /liter, rekasi dicoba sebnanyak 15 kali dg hasil kecepatan rata-rata 7,5 mikromol/menit dg simpangan baku 1,5 mikromol. Dg konsentrasi substrat 2.0 mol/liter, reaksi dicoba sebanyak 12 kali dg hasil kecepatan rata-rata 8,8 mikromol/manit dg simpangan baku 1,2 mikromol. Ujilah apakah penignkatan konsentrasi substrat memberikan penignkatan kecepatan rata-rata reaksi >0,5 mikromol/30 menit pada tarafa nyata 0,01. Asumsikan populasi menyebar hampir normal.

8.       Misalnya di masa lalu 40% oran gdeawasa setuju dg hukuman mati. Apakah mempunyai alasan yg kuat untuk mempercayai bahwa pada saat ini proporsi orang yg menyetujui hukuman mati telah menurun, bila diantara 15 orang dewasa yg diambil secara acak, hanya 3 orang yg menyetujui hukuman mati. Taraf nyata 0,05.

9.       Sebuah penelitian ingin mengetahui apakah iklim dingin membuat anak-anak lebih sering membolos dari sekolah dibandingkan dg iklim yg lebih hangat. Dua kelompok siswa diambil secara acak, satu dari Bogor dab satu lagi dari Semarang. Diantara 300 siswa Bogor, 72 anak membolos sekurang-kurangnya sehari selama semester berjalan. Sedangkan diantara 400 siswa dari Semarang, 79 anak pernah membolos sehari atau lebih. Berdasarkan data ini dapatkah disimpulkan bahwa aklim yg lebih dingin mengakibatkan anak lebih sering membolos dari sekolah dibandingkan dg iklim lebih hangat. Taraf nyata uji 0,05.

JAWABAN:

1.       Hipotesa ;

·         Manual = 50 menit

·         On-line = lebih cepat dari manual

·         Pernyataan sistem online lebih cepat dari manual

·         Ho : μ= 50

·         Ha : μ> 50

2.       Hipotesa:

·         Ho = 15 unit/jam

Mesin baru tidak mengahsilkan produksi yg lebih besar daripada mesin lama

·         Ha > 15 unit/jam

Mesin baru mengahsilkan produksi yg lebih besar daripada mesin lama

·         Taraf nyata uji           : alfa = 0,05

·         Wilayah kritis             : Z > 1,645

·         Perhitungan               :

μσn2X

Z = X – μ

σ/ n

= 16,5 – 15

    2,8 – 9

= 1,5

    0,9333

= 1,607

·         Keputusan :

Z tabel > Z hitung maka Ho diterima

Tidak ada bukti yg benar untuk menolak pernyataan bahwa mesin baru tidak menghasilkan produk yg lebih besar daripada mesin lama.

3.       Hipotesa:

·         Ho : μ = 200

Makanan baru tidak menghasilkan telur lebih banyak daripada makanan lama

·         Ha : μ>200

Makanan baru menghasilkan telur lebih banyak daripada makanan lama (makanan baru tidak sama dg makanan lama)

·         Taraf nyata uji         : = 0,05

·         Wilayah kritis           : Z > 1,645

·         Perhitungan             :

Z = (X – μ0)/(S/n)

   = (215 – 200)/(25/36)

   =15/4,1667

   =3,6000

·         Keputusan:

Z hitung > Z tabel maka Ha diterima

Tidak ada bukti yg kuat untuk menolak pernyataan bahwa makanan baru menghasilkan telur yg lebih banyak daripada makanan lama yaitu lebih dari rata-rata 200 butir.

4.       Hipotesa:

·         Ho : P1 – P2

Pupuk sejenis tidak ada bedanya dg pupuk jenis lain atau pupuk sejenis tidak lebih baik / tidak lebih efektif dari pupuk jenis lain

Ho diterima jika P1 = P2

Ha ditolak jika P1 > P2

·         Ha : P1 > P2

Pupuk sejenis lebih efektif / lebih baik daripada pupuk jenis lain

Ha diterima jika P1 > P2

Ho ditolak jika P1 < P2

·         Taraf nyata uji           : 0,005

·         Wilayah kritis             : Z > 2,580

·         Perhitungan               :

P1 = 50/100 = 0,5

P2 = 40/64   = 0,625

P =    50 + 40     = 0,5

100 + 64

Z =                          0,5 + 0,625                           = - 19,8413

(0,5488)(0,4512)(1/100 + 1/64)

·         Keputusan :

Z tabel > Z hitung maka Ho diterima

Diterima Ho kita percaya bahwa proporsi pupuk sejenis tidak lebih efektif / tidak lebih baik daripada pupuk jenis lain.

5.       Hipotesa:

·         Ho : μ = 162,5 cm

Tinggi rata-rata mahasiswa STMIK Gunadarma angkatan angkatan 1991 adl 162,5 cm

·         Ha : μ > 162,5 cm

Tinggi ratarata mahasiswa STMIK Gunadarma angkatan 1991 adl lebih dari 162,5 cm

·         Taraf nyata uji           : 0,02

·         Wilayah kritis             : Z > 2,055

·         Perhitungan               :

Z = (X – μ0) / (S/n)

= S(165,2 – 162,5) / (6,9/20)

= 1,7492

·         Keputusan  :

Z tabel > Z hitung maka Ho diterima

Tidak ada bukti yg kuat untuk menolak pernyataan bahwa tinggi rata-rata mahasiswa STMIk Gunadarma angakatan 1001 adl 162,5 cm.

6.       Hipotesa:

·         Ho : μ = 165,2 cm

Tinggi rata-rata mahasiswa STMIK Gunadarma angkatan angkatan 1991 adl 165,2 cm

·         Ha : μ > 165,2 cm

Tinggi ratarata mahasiswa STMIK Gunadarma angkatan 1991 adl lebih kecil dari 165,2 cm

·         Taraf nyata uji           : 0,01

·         Wilayah kritis             : Z <-2,330

·         Perhitungan               :

Z = (X – μ0) / (S/n)

   = (162,5 – 165,2) / (7,5/20)

   = -1,6092

·         Keputusan                  :

Z hitung > Z tabel maka Ha diterima

Tidak ada bukti yg kuat untuk menolak pernyataan bahwa tinggi rata-rata mahasiswa angkatan thn 1992 lebih kecil dari 165,2 cm

7.       Hipotesa :

·         Ho : μ1 – μ2 = 0,5

Peningkatan substrat tidak menaikkan kecepatan rata-rata lebih dari 0,5 mikromol/30 menit

·         Ha : μ1 – μ2 > 0,5

Peningkatan substrat menaikkan kecepatan rata-rata lebih dari 0,5 mikromol/30 menit

·         Taraf nyata uji          : 0,01

·         Daerah kritis             : T > 2,485

·         V = (1,2 2/12 + 1,5 2/15) 2

= (1,2 2/12) 2 + (1,5 2/15) 2

= 24,998

·         Perhitungan :

T =    (8,8 – 7,5) – 0,5

              1,2 2 /12 + 1,5 2/15

= 1,5396

·         Keputusan :

T tabel > T hitung maka Ho diterima

Tidak ada bukti kuat untuk menolak bahwa peningkatan substrat tidak menaikkan rata-rata lebih dari 0,5 mikromol/30 menit

8.       Hipotesa :

P1 : proporsi daerah Bogor

P2 : proporsi daerah Semarang

·         Ho : P1 = P2

·         Ha : P1 > P2

·         Taraf nyata uji          : 0,05

·         Wilayah kritis            : Z > 2,580

·         Perhitungan :

X1 = 72                                                  n1 = 300

X2 = 70                                                  n2 = 400

P1 = 72/300 = 0,24

P2 = 70/400 = 0,175

P =    72 + 70        = 0,2029

        300 + 400

Q = 1 – 0,2029    = 0,7971

Z =          0,24 - .0175

       (0,2029)(0,7971)(1/300 + 1/400)

= 0,065                  = 72,222

    0,0009

·         Keputusan :

Z hitung > Z tabel maka Ho ditolak

Ho ditolak. Pada taraf nyata 0,05, proporsi di iklim yg lebih dingin